Teselas de Penrose

La tesela es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado, que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες.

Casi desde que el hombre comenzó a construir con sus manos y a realizar construcciones duraderas, uno de los aspectos que más ha cuidado ha sido el de unir elementos para teselar de la forma más eficiente posible el plano. Hay muchos restos que nos indican la perfección que se buscaba en ese trabajo. 

Por ejemplo, las calzadas romanas construidas uniendo piezas que ajustaban de forma que no hubiesen resquicios para que una pata de un caballo o una rueda pudiesen sufrir percances, y que hoy en día siguen permitiendo su paso sin dificultad. 

O esos trabajos más elaborados como son los mosaicos en los que el objetivo era unir una serie de piezas para conseguir cubrir un plano con unos vistosos y originales dibujos. 

Poco a poco los mosaicos fueron convirtiéndose en la unión perfecta de piezas que se pudieran repetir de forma periódica y los científicos y artistas comenzaron a estudiar todas las posibilidades de rellenar el plano. Así, los artistas árabes llegaron a utilizar todos los grupos cristalográficos posibles en las paredes de la Alhambra.

Una de las personas que más ha estudiado la forma de recubrir el plano, ha sido el ilustre matemático y físico inglés Sir Roger Penrose (Reino Unido, 1931). Es profesor emérito de la Universidad de Oxford y recibió en 1994 el título de Sir. Es miembro de la Royal Society de Londres. Y en 1988 se le concedió el Premio Wolf de física junto con Stephen Hawking.

Gran aficionado a las paradojas y a los rompecabezas, trabó amistad en 1954 con el pintor M. C. Escher y a partir de su relación Penrose se interesó por las figuras imposibles, creando por ejemplo el triángulo imposible o tribarra, y los recubrimientos del plano.

Triángulo imposible

La imposibilidad no puede localizarse en la figura; pese a todo, puede definirse en términos matemáticos precisos como una abstracción de las reglas de encolado subyacentes a su construcción. 

     

La imposibilidad no puede localizarse en ningún lugar específico de la figura.

  

A Penrose se deben mosaicos de muy diverso tipo, por ejemplo, creó lo que se conoce como “carretilla de Penrose” que podemos ver en la Figura 17 o los llamados “Pollos de Penrose”, en la Figura 18, formado por dos piezas que recubren el plano de forma aperiódica. 

A mediados de los años 70 del pasado siglo, Penrose construyó un conjunto de seis teselas2 partiendo de tres pentágonos regulares, un rombo, una estrella de cinco puntas y una media estrella, a los que modificó con entrantes y salientes para que pudieran engarzar correctamente. De esta manera creó las teselas de la Figura 19 que recubren el plano aperiódicamente como podemos ver en la Figura 20. 

Posteriormente, consiguió dividir las teselas y generar el mosaico a partir de dos piezas simples. En concreto partiendo de dos cuadriláteros, uno cóncavo y otro convexo, llamados dardo (o flecha) y cometa que podemos ver en la Figura 21. 

Como los dos cuadriláteros unidos pueden formar un rombo, con lo que se cubría el plano de forma periódica, Penrose propuso modificar las piezas para forzar el recubrimiento aperiódico y construyó las piezas que aparecen en la Figura 22. Por último, el matemático inglés John Conway, que fue quien los nombró como dardo y cometa, planteó dibujar dos semicírculos de colores distintos, como puede verse en la Figura 23, de forma que, al teselar, no se pudieran unir líneas de distinto color.

En las dos imágenes siguientes vemos una teselación del plano con estas dos piezas y un mosaico en un banco público en Ámsterdam. 

Desde un punto de vista arquitectónico, los teselados de Penrose permiten estructurar configuraciones modulares abstractas, para analizar y resolver agrupamientos de formas. Si bien los ángulos de las piezas corresponden a valores rigurosos, la versatilidad de ubicación de unas con respecto a otras y las condiciones de correspondencia entre lados de la misma longitud aseguran la ausencia de periodicidad de las composiciones, obteniéndose una sorprendente variedad de formas. Los conceptos de inflación y deflación, en estrecha vinculación con los fractales, permiten estudiar recursivamente agrupamientos en distintos niveles de abstracción y en distintas escalas.

Figura 15

(a) generación de idea a partir de un teselado tipo P3
(b) agrupamiento de bloques de viviendas obtenidas como resultado de esa generacion

La proporción áurea en que se presentan las cantidades de elementos componentes, sumada a la proporción 

áurea entre las dimensiones de los módulos, impone una “irracionalidad ordenada”, comparable a la serie

numérica de Fibonacci. En este sentido queda abierta la posibilidad de futuras exploraciones de los eselados de Penrose para encontrar nuevas aplicaciones arquitectónicas Las siguientes imágenes muestran algunos

resultados al aplicar las tramas de Penrose como soportes geométricos y bases de extrucción de diferentes

agrupamientos arquitectónicos.

Figura 16

(a) generación de idea a partir un teselado tipo P3
(b) torres de oficinas obtenidas como resultado de esa generacion

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